5. Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 4√2 см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть основание пирамиды - прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов, и AC = BC. Гипотенуза AB = 4√2. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то AC = BC. По теореме Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[2AC^2 = (4\sqrt{2})^2\] \[2AC^2 = 32\] \[AC^2 = 16\] \[AC = BC = 4\] Так как боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны основанию, то высота пирамиды проходит через вершину C. Пусть высота равна h. Третья грань наклонена к основанию под углом 45 градусов. Это означает, что угол между высотой, опущенной из вершины пирамиды на гипотенузу, и самой гипотенузой равен 45 градусам. Обозначим вершину пирамиды за S. Тогда высота пирамиды SC = h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (SC), высотой боковой грани, опущенной из вершины S на гипотенузу AB (назовем её SM), и отрезком CM, где M - середина AB. Угол SMC = 45 градусов. Так как CM - медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, то CM = AB/2 = (4√2)/2 = 2√2. В прямоугольном треугольнике SMC имеем угол SMC = 45 градусов, следовательно, треугольник равнобедренный, и SC = CM. Таким образом, высота пирамиды h = 2√2. Теперь найдем боковые ребра пирамиды. Ребра SA и SB равны, так как AC = BC. По теореме Пифагора для треугольника SCA: \[SA = SB = \sqrt{SC^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{8 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\] Боковое ребро SC = 2√2. Ответ: Длины боковых ребер: (SC = 2\sqrt{2}), (SA = SB = 2\sqrt{6}). б) Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из площади двух прямоугольных треугольников (боковых граней, перпендикулярных основанию) и площади третьего треугольника (наклоненной грани). Площадь первого прямоугольного треугольника: \[S_1 = \frac{1}{2} AC \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\] Аналогично, площадь второго прямоугольного треугольника: \[S_2 = \frac{1}{2} BC \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\] Чтобы найти площадь третьей грани (треугольника SAB), нам нужно найти длину SM - высоту этого треугольника. Мы уже знаем, что угол SMC = 45 градусов и SC = CM = 2√2. Тогда SM = SC * √2 = 2√2 * √2 = 4. Площадь треугольника SAB: \[S_3 = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}\] Общая площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\] Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна (16\sqrt{2}).