14. Диагональ РВ ромба PEBF равна 24, а tg \(\angle EBP =0.75\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пошаговое решение:

Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда PO = PB/2 = 24/2 = 12.

Так как tg \(\angle EBP = 0.75 = \frac{3}{4} \), то OE/OB = 3/4.

Пусть OE = 3x, тогда OB = 4x. По теореме Пифагора для треугольника POB:

\[ PO^2 + OB^2 = PB^2 \]

\[ 12^2 + (4x)^2 = (24)^2 \]

\[ 144 + 16x^2 = 576 \]

\[ 16x^2 = 432 \]

\[ x^2 = 27 \]

\[ x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

Тогда OB = 4x = 12\(\sqrt{3}\).

Площадь ромба PEBF равна половине произведения диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2 \cdot 12\sqrt{3} = 288\sqrt{3} \]

С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту, то есть \( S = PE \cdot h \). Сторона ромба PE = PB = 24.

Тогда высота h = S/PE = 288\(\sqrt{3}\) / 24 = 12\(\sqrt{3}\).

Радиус вписанной окружности равен половине высоты, то есть r = h/2 = 6\(\sqrt{3}\).

Ответ: 6\(\sqrt{3}\)