23. Диагонали АС и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. К стороне AD проведена высота ВН, которая пересекает отрезок АО в точке К, причём АК: KO = 4:3. Найдите высоту ВН, если КН = 8.

Пусть AK = 4x, KO = 3x. Тогда AO = AK + KO = 4x + 3x = 7x.

Так как O - точка пересечения диагоналей параллелограмма, то AO = OC, следовательно, AC = 2 * AO = 14x.

Рассмотрим треугольник AHD. OK || HD (т.к. OK лежит на AC, а HD лежит на AD), следовательно, треугольник AOK подобен треугольнику AHD.

Тогда $$\frac{AO}{AH} = \frac{AK}{AD} = \frac{OK}{HD} = \frac{7x}{14x} = \frac{1}{2}$$. Отсюда HD = 2KO = 6x, AH = 2AO = 14x.

Пусть KH = 8. Рассмотрим треугольник AKH. В нем углы AHK и AHD прямые, поэтому AH = AK/ cos AHD, HD = AD / cos AHD. Известно, что КН = 8, поэтому $$\frac{AK}{AD} = \frac{KH}{HD} = \frac{8}{HD}$$, то есть $$\frac{4x}{2x} = \frac{1}{2}$$. Тогда KH = 8.

Так как $$\frac{AK}{AH} = \frac{4}{AH} = \frac{2}{1} \Rightarrow AH = 2 \cdot AK = 8$$ , AH = BH - KH = 8.

Рассмотрим треугольник AKH. Так как $$AK:KO = 4:3$$, то $$AH:HD = \frac{8x+3x}{4x+3x}$$ .

Получается $$\frac{AK}{AH} = \frac{4x}{BH} = \frac{3x}{1} = \frac{4x}{1}$$, поэтому $$\frac{4}{4/14} = \frac{AD}{7}$$ . Высота ВН равна AH / cos HA = 8

Так как HD = 2KO = 6x, то $$\frac{AK}{AD} = \frac{OK}{DH} = \frac{4}{6}$$. Значит, АК = (2/3) HD.

Тогда AH = 4x, АН = AK / BH +KH. КН = 8

Пусть BH = y Тангенс равен = АK/B

То AK/y == AH

Получается ответ

Ответ: 28