Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке О, BC=4, AD=9, AC=26. Найдите длину отрезка АО.

Решение:

Так как BC || AD, то треугольники BOC и DOA подобны по двум углам:

• \[ \angle BOC = \angle DOA \text{ (как вертикальные)} \]
• \[ \angle OBC = \angle ODA \text{ (как накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей BD)} \]
• \[ \angle OCB = \angle OAD \text{ (как накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AC)} \]

Из подобия следует отношение длин соответствующих сторон:

• \[ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} \]
• \[ \frac{4}{9} = \frac{OC}{OA} \]

Мы знаем, что AC = AO + OC = 26. Выразим OC через AO:

• \[ OC = \frac{4}{9} OA \]

Подставим это в уравнение для AC:

• \[ AO + \frac{4}{9} OA = 26 \]
• \[ \frac{9}{9} OA + \frac{4}{9} OA = 26 \]
• \[ \frac{13}{9} OA = 26 \]
• \[ OA = 26 · \frac{9}{13} \]
• \[ OA = 2 · 9 \]
• \[ OA = 18 \]

Ответ: 18