17 Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. ВС=3. AD=7, AC=20. Найдите длину отрезка АО.

Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите длину отрезка AO.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Они подобны по двум углам (∠BOC = ∠DOA как вертикальные, ∠BCO = ∠DAO как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}$$,

$$\frac{AO}{OC} = \frac{7}{3}$$.

Пусть $$AO = 7x$$, тогда $$OC = 3x$$.

$$AC = AO + OC = 7x + 3x = 10x$$,

$$10x = 20$$,

$$x = 2$$,

$$AO = 7 \cdot 2 = 14$$.

Ответ: 14