1) Диагонали квадрата пересекаются в точке О. К плоскости квадрата через точку О проведена прямая OS, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки S до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 4 см, OS = 5 см.

1) Рассмотрим квадрат ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Так как OS перпендикулярна плоскости квадрата, то OS перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямым OA, OB, OC и OD. Следовательно, треугольники SOA, SOB, SOC и SOD - прямоугольные, причем SO = 5 см.

Сторона квадрата равна 4 см. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Найдем диагональ квадрата AC по формуле:

$$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$

Тогда половина диагонали (AO) равна:

$$AO = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора найдем SA:

$$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{5^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 8} = \sqrt{33} \text{ см}$$

Так как треугольники SOA, SOB, SOC и SOD равны, то SA = SB = SC = SD = √33 см.

Ответ: $$\sqrt{33}$$ см