13. Диагонали прямоугольника ABCD, периметр которого равен 84 см, пересекаются в точке О. Найдите BD, если OKLAD и ОК=9 см.

Пусть ABCD - прямоугольник, O - точка пересечения диагоналей, K - точка на стороне AD, OK перпендикулярна AD и OK = 9 см.

OK - высота прямоугольного треугольника AOD, проведенная к гипотенузе AD.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, AO = OD.

Треугольник AOD - равнобедренный, и OK является его высотой, следовательно, OK также медиана и AK = KD, т.е. K - середина AD.

Тогда OK - средняя линия треугольника ABD и равна половине AB.

AB = 2 * OK = 2 * 9 = 18 см.

Периметр прямоугольника ABCD равен 84 см, P = 2 * (AB + AD).

84 = 2 * (18 + AD)

42 = 18 + AD

AD = 24 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора BD^2 = AB^2 + AD^2

BD^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900

BD = \sqrt{900} = 30 см.

Ответ: BD = 30 см