Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке M. 1) Выразите вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\). 2) Найдите \(|\overrightarrow{BC}|\), если диагонали ромба равны 12 и 16. 3) Найдите \(|\overrightarrow{AC}|\), если A(3; 1), C(−1; 4).

1. Ромб — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, следовательно,
   \(\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\)
2. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны 6 и 8, а сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника:
   \(\displaystyle |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.\)
3. \(\overrightarrow{AC}=(-1-3;\,4-1)=(-4;3)\). Тогда
   \(\displaystyle |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5.\)

Ответ: 1) \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\); 2) 10; 3) 5.