10. Диагонали ромба относятся как 3: 4, периметр ромба равен 200 см. Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.

Пусть диагонали ромба равны 3x и 4x. Поскольку периметр ромба равен 200 см, то сторона ромба равна $$200/4 = 50$$ см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

$$(\frac{3x}{2})^2 + (\frac{4x}{2})^2 = 50^2$$ $$\frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = 2500$$ $$\frac{25x^2}{4} = 2500$$ $$x^2 = \frac{2500 \cdot 4}{25} = 100 \cdot 4 = 400$$ $$x = \sqrt{400} = 20$$

Тогда диагонали ромба равны $$3 \cdot 20 = 60$$ см и $$4 \cdot 20 = 80$$ см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 30 \cdot 80 = 2400 \text{ см}^2$$

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты ромба. Высоту ромба можно найти, разделив площадь ромба на длину его стороны:

$$h = \frac{S_{ромба}}{a} = \frac{2400}{50} = 48 \text{ см}$$

Тогда радиус вписанной окружности равен $$r = \frac{h}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}$$.

Площадь круга равна:

$$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 24^2 = 576\pi \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь круга равна $$576\pi$$ см².