3. Диагонали ромба относятся как 28:45, а его площадь равна 2520. Найдите сторону ромба. Запишите решение и ответ.

Пусть ромб $$ABCD$$, где $$AC$$ и $$BD$$ - диагонали. $$AC:BD = 28:45$$ и $$S_{ABCD} = 2520$$.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

Пусть $$AC = 28x$$, $$BD = 45x$$. Тогда $$S = \frac{1}{2} (28x)(45x) = 2520$$.

Упрощаем: $$14x \cdot 45x = 630x^2 = 2520$$.

Отсюда $$x^2 = \frac{2520}{630} = 4$$, следовательно, $$x = 2$$.

Таким образом, $$AC = 28 \cdot 2 = 56$$ и $$BD = 45 \cdot 2 = 90$$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей. Тогда $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{56}{2} = 28$$ и $$BO = \frac{BD}{2} = \frac{90}{2} = 45$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора $$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 28^2 + 45^2 = 784 + 2025 = 2809$$.

Тогда $$AB = \sqrt{2809} = 53$$.

Ответ: 53