1. В прямоугольной трапеции XESZ с прямыми углами Х и Е провели диагональ ХЅ. Оказалось, что треугольник XSZ равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если XS = 6. Запишите решение и ответ.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$XESZ$$ с прямыми углами $$X$$ и $$E$$. Проведена диагональ $$XS$$. Треугольник $$XSZ$$ равносторонний, значит, $$XS = XZ = SZ = 6$$.

Обозначим среднюю линию трапеции за $$m$$.

Проведем высоту $$ZT$$ к основанию $$XE$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$XTZ$$. Угол $$\angle SXZ = 60^\circ$$, следовательно, угол $$\angle ZXT = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Значит, $$ZT = \frac{XZ}{2} = \frac{6}{2} = 3$$.

Так как $$ZT = XE$$, то $$XE = 3$$.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{XE + SZ}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$.

Ответ: 4.5