10. Диагонали ромба относятся как 3:4, периметр ромба равен 200 см. Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.

Периметр ромба равен 200 см. Так как у ромба все стороны равны, то сторона ромба равна $$200 / 4 = 50$$ см. Отношение диагоналей ромба равно 3:4. Пусть половина первой диагонали равна $$3x$$, а половина второй диагонали равна $$4x$$. Тогда, зная, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора: $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$$ $$9x^2 + 16x^2 = 2500$$ $$25x^2 = 2500$$ $$x^2 = 100$$ $$x = 10$$ Следовательно, половина первой диагонали равна $$3 * 10 = 30$$ см, а половина второй диагонали равна $$4 * 10 = 40$$ см. Тогда первая диагональ равна $$2 * 30 = 60$$ см, а вторая диагональ равна $$2 * 40 = 80$$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S_{ромба} = \frac{1}{2} * 60 * 80 = 2400$$ см$$^2$$ С другой стороны, площадь ромба можно выразить через сторону и высоту: $$S_{ромба} = a * h$$, где $$a$$ - сторона ромба, а $$h$$ - высота ромба. Таким образом: $$2400 = 50 * h$$ $$h = \frac{2400}{50} = 48$$ см Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, поэтому радиус вписанной окружности равен $$r = \frac{h}{2} = \frac{48}{2} = 24$$ см. Площадь круга, вписанного в ромб, равна: $$S_{круга} = \pi * r^2 = \pi * 24^2 = 576\pi$$ см$$^2$$ Значит, площадь круга, вписанного в ромб, равна **$$576\pi$$ см$$^2$$**.