4. Диагонали ромба равны 30см и 40 см. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.

Пусть диагонали ромба равны d1 = 30 см и d2 = 40 см. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Следовательно, половинки диагоналей равны 15 см и 20 см.

Сторона ромба (a) является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинками диагоналей. По теореме Пифагора:

$$a^2 = 15^2 + 20^2$$

$$a^2 = 225 + 400$$

$$a^2 = 625$$

$$a = \sqrt{625} = 25$$

Сторона ромба равна 25 см.

Площадь ромба можно найти двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.

$$S = \frac{1}{2} * d_1 * d_2 = a * h$$

Где h - высота ромба. Подставим известные значения:

$$\frac{1}{2} * 30 * 40 = 25 * h$$

$$600 = 25 * h$$

$$h = \frac{600}{25} = 24$$

Высота ромба равна 24 см.

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты ромба:

$$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

Ответ: 12 см