Диаметр АА, окружности перпендикулярен к хорде ВВ, и пе- ресекает её в точке С. Найдите ВВ, если АС = 4 см, СА₁ = 8 см.

Пусть O - центр окружности. Так как AA₁ - диаметр и BB₁ ⊥ AA₁, то C - точка пересечения BB₁ и AA₁.

Пусть OC = OA - AC = R - 4, где R - радиус окружности.

Также OA₁ = R = OC + CA₁ = OC + 8, следовательно OC = R - 8

Получаем R - 4 = R - 8. Решаем R: 2R = 12, R = 6 см.

Тогда OC = 6 - 4 = 2 см.

Пусть BC = x, тогда B₁C = x (так как диаметр перпендикулярен хорде).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OCB: OC² + BC² = OB²

2² + x² = 6²

4 + x² = 36

x² = 32

x = \(\sqrt{32}\) = 4\(\sqrt{2}\) см.

Тогда BB₁ = 2x = 2 \( \cdot \) 4\(\sqrt{2}\) = 8\(\sqrt{2}\) см.