В треугольнике АВС сторона АВ равна 6, а медиана, прове- денная к этой стороне, равна 4. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точ- ку С и касается АВ, причём одна касается в точке А, а дру- гая - в точке В.

Пусть M - середина стороны AB, тогда AM = MB = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3.

Пусть первая окружность касается AB в точке A и проходит через точку C.

Пусть вторая окружность касается AB в точке B и проходит через точку C.

Пусть K - точка пересечения двух окружностей, отличная от C, то есть CK - общая хорда.

Пусть AC и BC - хорды, а AK и BK - касательные.

Рассмотрим треугольник ABC. Медиана CM = 4.

Общая хорда CK перпендикулярна медиане CM.

Так как AK и BK - касательные, то ∠CAK = ∠CBK.

Треугольник ABC равнобедренный, AB = 6, CM = 4.

Длина общей хорды CK равна 2\(\sqrt{AC^2 - AM^2}\) = 2\(\sqrt{4^2 - 3^2}\) = 2\(\sqrt{16 - 9}\) = 2\(\sqrt{7}\).