3. Диаметр АВ окружности с центром в точке О пересекает хорду МN этой окружности в точке Н так, что МН = №Н. Найдите МО, если МВ = 21, HB = 15.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить радиус окружности.
2. Использовать теорему о секущей и касательной, чтобы найти MH.
3. Применить теорему Пифагора для нахождения MO.

Решение:

1. Найдем радиус окружности. Так как MB = 21 и HB = 15, то AH = AB - HB. AB - это диаметр, следовательно AB = MB + HB = 21 + 15 = 36. Радиус OA = OB = AB/2 = 36/2 = 18.
2. Так как MH = NH, то OH перпендикулярно MN (свойство хорды, делящейся пополам диаметром). Применим теорему о секущей и касательной (в данном случае секущая AB, касательная MH отсутствует, но свойство сохраняется для хорды, разделенной диаметром): $$MH^2 = HB \cdot AH$$ AH = AB - HB = 36 - 15 = 21. $$MH^2 = 15 \cdot 21 = 315$$ $$MH = \sqrt{315} = 3\sqrt{35}$$
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB. OB = 18 (радиус), HB = 15. По теореме Пифагора: $$OH^2 + MH^2 = OM^2$$. Так как OH = OB - HB, то OH = 18 - 15 = 3. $$OM^2 = OH^2 + MH^2$$ $$OM^2 = 3^2 + (3\sqrt{35})^2 = 9 + 9 \cdot 35 = 9 + 315 = 324$$ $$OM = \sqrt{324} = 18$$

Ответ: 18