14(17) Дима написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Маша вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 47, 72 и 97. Посмотрев на полученные Машей значения, Ваня смог точно назвать наибольшее из написанных Димой чисел. Какое это число? Запишите решение и ответ.

Пусть числа, которые написал Дима: a, b, c, d, e (a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e).

Тогда минимальная сумма: a + b = 47

Средняя сумма: a + c = 72

Максимальная сумма: d + e = 97

Так как a + b = 47, то a < 47/2, то есть a ≤ 23

Так как d + e = 97, то e > 97/2, то есть e ≥ 49

Если бы все числа, кроме наибольшего, были минимальными, то есть a = b = c = d = 23, то 4 \cdot 23 + e = 47 + 72 + 97 = 216

Тогда e = 216 - 4 \cdot 23 = 216 - 92 = 124

Но тогда d + e > 97, что противоречит условию.

Значит, числа не могут быть такими маленькими.

Рассмотрим случай, когда a + d = 72 и b + e = 72

Тогда a + b + d + e = 47 + 97 = 144

Тогда c = (47 + 72 + 97) - (a + b + d + e) = 216 - 144 = 72

Пусть a + e = 97, тогда a + b = 47

b - e = -50, что невозможно, так как b ≤ e

Пусть a + e = 72, тогда a + b = 47

b - e = -25, что возможно, если b ≤ e

Наибольшее число e = 50

Ответ: 50

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что все попарные суммы соответствуют заданным значениям.

Доп. профит: Редфлаг: Всегда проверяйте, чтобы полученные числа соответствовали условиям задачи (натуральные, различные и т.д.).