85.322 Для эстафеты, состоящей из четырёх этапов, надо отобрать участников из числа обладателей золотого значка ГТО. а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, если в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО? б) Сколькими способами члены этой команды могут распределить этапы лыжной эстафеты?

а) Необходимо выбрать 4 человек из 12. Порядок выбора не важен, поэтому используем сочетания.

Число способов выбора 4 человек из 12 рассчитывается по формуле сочетаний: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов.

В нашем случае n = 12, k = 4.

$$C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$$

б) Необходимо распределить 4 этапа между 4 членами команды. Это задача на перестановки, так как важен порядок.

Число способов распределения этапов рассчитывается по формуле перестановок: $$P(n) = n!$$, где n - количество элементов.

В нашем случае n = 4.

$$P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ответ: а) 495; б) 24