1033 Для функции f (х) найти первообразную, график которой проходит через точку М: 1) f (x) = cos x, M (0; -2); 2) f (x) = sin x, Μ (π; 0); 3) f (x) = 1 √x M (4; 5); 4) f (x) = ex, M (0; 2); 5) f (x) = 3x² + 1, M (1; -2); 6) f (x) = 2 - 2x, M (2; 3).

1. f(x) = cos x, M (0; -2)

   Первообразная: \[F(x) = \int cos x \, dx = sin x + C\]

   Подставляем точку M (0; -2):

   \[-2 = sin(0) + C \Rightarrow C = -2\]

   Итого: \[F(x) = sin x - 2\]

2. f(x) = sin x, M (π; 0)

   Первообразная: \[F(x) = \int sin x \, dx = -cos x + C\]

   Подставляем точку M (π; 0):

   \[0 = -cos(\pi) + C \Rightarrow 0 = -(-1) + C \Rightarrow C = -1\]

   Итого: \[F(x) = -cos x - 1\]

3. f(x) = 1/\sqrt{x}, M (4; 5)

   Первообразная: \[F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C\]

   Подставляем точку M (4; 5):

   \[5 = 2\sqrt{4} + C \Rightarrow 5 = 2 \cdot 2 + C \Rightarrow C = 1\]

   Итого: \[F(x) = 2\sqrt{x} + 1\]

4. f(x) = e^x, M (0; 2)

   Первообразная: \[F(x) = \int e^x \, dx = e^x + C\]

   Подставляем точку M (0; 2):

   \[2 = e^0 + C \Rightarrow 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1\]

   Итого: \[F(x) = e^x + 1\]

5. f(x) = 3x² + 1, M (1; -2)

   Первообразная: \[F(x) = \int (3x^2 + 1) \, dx = x^3 + x + C\]

   Подставляем точку M (1; -2):

   \[-2 = 1^3 + 1 + C \Rightarrow -2 = 1 + 1 + C \Rightarrow C = -4\]

   Итого: \[F(x) = x^3 + x - 4\]

6. f(x) = 2 - 2x, M (2; 3)

   Первообразная: \[F(x) = \int (2 - 2x) \, dx = 2x - x^2 + C\]

   Подставляем точку M (2; 3):

   \[3 = 2 \cdot 2 - 2^2 + C \Rightarrow 3 = 4 - 4 + C \Rightarrow C = 3\]

   Итого: \[F(x) = 2x - x^2 + 3\]

Ответ: Первообразные функций с учетом заданных точек M представлены выше.