3. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x) = 3 - 4/sin² 2x; M(π/4; 3π/4).

Задание 3

Дано:

• f(x) = 3 - \(\frac{4}{\sin^2 2x}\)
• M = (\(\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\))

Найдем общий вид первообразной:

\[F(x) = \int (3 - \frac{4}{\sin^2 2x}) dx = \int 3 dx - \int \frac{4}{\sin^2 2x} dx = 3x - 4 \int \frac{1}{\sin^2 2x} dx\]

Интеграл \(\int \frac{1}{\sin^2 2x} dx\) равен -\(\frac{1}{2} \cot 2x\), поэтому:

\[F(x) = 3x - 4(-\frac{1}{2} \cot 2x) + C = 3x + 2 \cot 2x + C\]

Теперь найдем значение C, используя точку M(\( \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \)):

\[\frac{3\pi}{4} = 3(\frac{\pi}{4}) + 2 \cot(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C\]\[\frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2 \cot(\frac{\pi}{2}) + C\]

Так как \(\cot(\frac{\pi}{2}) = 0\), то:

\[\frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + C\]\[C = 0\]

Подставляем C = 0 в общее решение:

Ответ: F(x) = 3x + 2 cot 2x