3. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x) = 6/cos²3x; M(π/4; π/4).

Решение:

• Находим первообразную функции f(x) = 6/cos²3x:
• \( F(x) = \int \frac{6}{\cos^2(3x)} dx = 6 \int \frac{1}{\cos^2(3x)} dx \)

1. Вспомним, что \( \int \frac{1}{\cos^2(ax)} dx = \frac{1}{a} \tan(ax) + C \)
2. Тогда \( F(x) = 6 \cdot \frac{1}{3} \tan(3x) + C = 2 \tan(3x) + C \)

• Используем точку M(π/4; π/4) для определения константы C:
• \( F(\frac{\pi}{4}) = 2 \tan(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + C = \frac{\pi}{4} \)
• \( 2 \tan(\frac{3\pi}{4}) + C = \frac{\pi}{4} \)
• \( \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1 \)
• \( 2 \cdot (-1) + C = \frac{\pi}{4} \)
• \( -2 + C = \frac{\pi}{4} \)
• \( C = \frac{\pi}{4} + 2 \)

• Запишем первообразную с найденной константой:
• \( F(x) = 2 \tan(3x) + \frac{\pi}{4} + 2 \)

Ответ: Первообразная функции f(x), проходящая через точку M(π/4; π/4): F(x) = 2tan(3x) + π/4 + 2