1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R: a) F(x) = 4x-x³; f(x) = 4 -3x²; b) F(x) = 0,5 -- sin x; f (x) = - cos x.

Решение:

a) F(x) = 4x - x³; f(x) = 4 - 3x²

• Вычислим производную F(x): F'(x) = (4x - x³)' = 4 - 3x².
• Сравним полученную производную с f(x): F'(x) = 4 - 3x² = f(x).
• Так как F'(x) = f(x), функция F(x) = 4x - x³ является первообразной для функции f(x) = 4 - 3x² на множестве R.

б) F(x) = 0,5 - sin x; f(x) = - cos x

• Вычислим производную F(x): F'(x) = (0,5 - sin x)' = 0 - cos x = - cos x.
• Сравним полученную производную с f(x): F'(x) = - cos x = f(x).
• Так как F'(x) = f(x), функция F(x) = 0,5 - sin x является первообразной для функции f(x) = - cos x на множестве R.

Ответ: Функция F является первообразной для функции f на множестве R в обоих случаях.