Для функции f (x) = 6(x + 1)⁵ + 3(2x-1)²-4x - cos 3x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (0;-1).

Решение:

Находим первообразную функции f(x):

• F(x) = ∫ (6(x + 1)⁵ + 3(2x - 1)² - 4x - cos 3x) dx
• F(x) = ∫ 6(x + 1)⁵ dx + ∫ 3(2x - 1)² dx - ∫ 4x dx - ∫ cos 3x dx

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

• ∫ 6(x + 1)⁵ dx = (x + 1)⁶ + C₁
• ∫ 3(2x - 1)² dx = (2x - 1)³/2 + C₂
• ∫ 4x dx = 2x² + C₃
• ∫ cos 3x dx = (1/3)sin 3x + C₄

Тогда F(x) = (x + 1)⁶ + (2x - 1)³/2 - 2x² - (1/3)sin 3x + C

Теперь используем точку M(0; -1), чтобы найти C:

• -1 = (0 + 1)⁶ + (2*0 - 1)³/2 - 2*0² - (1/3)sin(3*0) + C
• -1 = 1 - 1/2 - 0 - 0 + C
• -1 = 1/2 + C
• C = -1 - 1/2
• C = -3/2

Ответ: F(x) = (x + 1)⁶ + (2x - 1)³/2 - 2x² - (1/3)sin 3x - 3/2