Покажите, что функция F(x) = 2e²+2x³ + sin x + 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x) = 4 e²+ 6x² + cos x.

Решение:

Находим производную функции F(x):

• F'(x) = (2e^(2x) + 2x³ + sin x + 1)'
• F'(x) = 2 * 2e^(2x) + 2 * 3x² + cos x + 0
• F'(x) = 4e^(2x) + 6x² + cos x

Получили, что F'(x) = 4e^(2x) + 6x² + cos x, что совпадает с функцией f(x).

Вывод: Функция F(x) = 2e^(2x) + 2x³ + sin x + 1 является первообразной для функции f(x) = 4e^(2x) + 6x² + cos x.