Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = -x²-2x+8 и осью ОХ; b) y = x²+2 и y = 11.

Решение:

a) y = -x² - 2x + 8 и осью OX

1. Найдём точки пересечения параболы с осью OX, то есть решим уравнение -x² - 2x + 8 = 0:

• x² + 2x - 8 = 0
• (x + 4)(x - 2) = 0
• x₁ = -4, x₂ = 2

2. Вычислим площадь фигуры:

• \( S = \int_{-4}^{2} (-x^2 - 2x + 8) dx = [-\frac{x^3}{3} - x^2 + 8x]_{-4}^{2} \)
• \( = (-\frac{8}{3} - 4 + 16) - (\frac{64}{3} - 16 - 32) = -\frac{8}{3} + 12 - \frac{64}{3} + 48 = -\frac{72}{3} + 60 = -24 + 60 = 36 \)

b) y = x² + 2 и y = 11

1. Найдём точки пересечения параболы и прямой:

• x² + 2 = 11
• x² = 9
• x₁ = -3, x₂ = 3

2. Вычислим площадь фигуры:

• \( S = \int_{-3}^{3} (11 - (x^2 + 2)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{-3}^{3} \)
• \( = (27 - \frac{27}{3}) - (-27 + \frac{27}{3}) = 27 - 9 + 27 - 9 = 36 \)