Для функции f (x) = 6(x + 1)⁵ + 3(2x-1)²-4x-cos 3x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (0;-1).

Решение:

Найдём первообразную F(x) для функции f(x) = 6(x + 1)⁵ + 3(2x - 1)² - 4x - cos 3x:

• Первообразная от 6(x + 1)⁵: \( \int 6(x + 1)^5 dx = (x + 1)^6 + C_1 \)
• Первообразная от 3(2x - 1)²: \( \int 3(2x - 1)^2 dx = \frac{1}{2}(2x - 1)^3 + C_2 \)
• Первообразная от -4x: \( \int -4x dx = -2x^2 + C_3 \)
• Первообразная от -cos 3x: \( \int -cos 3x dx = -\frac{1}{3}sin 3x + C_4 \)

Общая первообразная F(x) будет:

• F(x) = (x + 1)⁶ + \frac{1}{2}(2x - 1)³ - 2x² - \frac{1}{3}sin 3x + C

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку M(0; -1):

• F(0) = (0 + 1)⁶ + \frac{1}{2}(2⋅0 - 1)³ - 2⋅0² - \frac{1}{3}sin(3⋅0) + C = -1
• 1 - \frac{1}{2} + 0 - 0 + C = -1
• \frac{1}{2} + C = -1
• C = -1 - \frac{1}{2}
• C = -\frac{3}{2}

Итоговая первообразная:

• F(x) = (x + 1)⁶ + \frac{1}{2}(2x - 1)³ - 2x² - \frac{1}{3}sin 3x - \frac{3}{2}