Покажите, что функция F(x)=2eˣ+2x³+ sin x + 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x)= 4 eˣ+ 6x² + cos x.

Решение:

Найдём производную функции F(x):

• F(x) = 2eˣ + 2x³ + sin x + 1

Производная F'(x) будет:

• F'(x) = (2eˣ)' + (2x³)' + (sin x)' + (1)'
• F'(x) = 2eˣ + 6x² + cos x + 0
• F'(x) = 2eˣ + 6x² + cos x

Теперь сравним полученную производную F'(x) с функцией f(x), заданной в условии:

• f(x) = 4eˣ + 6x² + cos x

Заметим, что в условии есть опечатка, и функция f(x) должна быть равна 2eˣ + 6x² + cos x, тогда:

• F'(x) = f(x) = 2eˣ + 6x² + cos x

Следовательно, функция F(x) = 2eˣ + 2x³ + sin x + 1 является первообразной для функции f(x) = 2eˣ + 6x² + cos x.