Для функции f(x) = 12x²+2x+7 найдите первообразную F(x), если известно, что F(-2)=14

Сначала найдем общий вид первообразной F(x) для функции f(x) = 12x² + 2x + 7. Для этого проинтегрируем f(x) по x: $$F(x) = \int (12x^2 + 2x + 7) dx$$ Применим правило интегрирования для каждого слагаемого: $$\int 12x^2 dx = 12 \int x^2 dx = 12 * \frac{x^3}{3} = 4x^3$$ $$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 * \frac{x^2}{2} = x^2$$ $$\int 7 dx = 7x$$ Следовательно, общий вид первообразной: $$F(x) = 4x^3 + x^2 + 7x + C$$ где C - константа интегрирования. Теперь используем условие F(-2) = 14, чтобы найти значение C: $$14 = 4(-2)^3 + (-2)^2 + 7(-2) + C$$ $$14 = 4(-8) + 4 - 14 + C$$ $$14 = -32 + 4 - 14 + C$$ $$14 = -42 + C$$ Чтобы найти C, прибавим 42 к обеим частям уравнения: $$C = 14 + 42 = 56$$ Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $$F(x) = 4x^3 + x^2 + 7x + 56$$ Ответ: F(x) = 4x³ + x² + 7x + 56