6. Для геометрической прогрессии (уп) с отрицательным знаменателем известно, что у₂ = 1 и у₄ = 3 + 2√2. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.

Решаем:

Известно, что y₂ = 1 и y₄ = 3 + 2√2.

Так как y₂ = y₁ * q, то y₁ = y₂ / q = 1 / q

Также y₄ = y₁ * q³, то y₄ = (1 / q) * q³ = q² = 3 + 2√2.

Значит q = ±√(3 + 2√2).

Так как знаменатель отрицательный, то q = -√(3 + 2√2).

Заметим, что (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2.

Значит, q = -(1 + √2).

Тогда y₁ = 1 / q = 1 / (-(1 + √2)) = -1 / (1 + √2) = - (√2 - 1) = 1 - √2.

Теперь найдем сумму первых четырех членов:

\[ S_4 = \frac{y_1(1 - q^4)}{1 - q} \]

Подставим y₁ = 1 - √2 и q = -(1 + √2):

\[ S_4 = \frac{(1 - \sqrt{2})(1 - (-(1 + \sqrt{2}))^4)}{1 - (-(1 + \sqrt{2}))} \] \[ S_4 = \frac{(1 - \sqrt{2})(1 - (1 + \sqrt{2})^4)}{2 + \sqrt{2}} \]

(1 + √2)² = 3 + 2√2

(1 + √2)⁴ = (3 + 2√2)² = 9 + 12√2 + 8 = 17 + 12√2

\[ S_4 = \frac{(1 - \sqrt{2})(1 - (17 + 12\sqrt{2}))}{2 + \sqrt{2}} \] \[ S_4 = \frac{(1 - \sqrt{2})(-16 - 12\sqrt{2})}{2 + \sqrt{2}} \] \[ S_4 = \frac{-16 - 12\sqrt{2} + 16\sqrt{2} + 24}{2 + \sqrt{2}} \] \[ S_4 = \frac{8 + 4\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \] \[ S_4 = \frac{4(2 + \sqrt{2})}{2 + \sqrt{2}} \] \[ S_4 = 4 \]

Ответ: S₄ = 4