15. Для какого наибольшего целого числа A формула ((x < 4) \lor (x \ge 20) \lor (y \ge 3x + A) \lor (y < 100)) тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решение: Чтобы формула была тождественно истинной, нужно, чтобы для любых целых неотрицательных x и y, хотя бы одно из условий было истинным. Рассмотрим условие ((x < 4) \lor (x \ge 20)). Оно истинно для (x = 0, 1, 2, 3) и (x \ge 20). Значит, остается проверить значения (x = 4, 5, ..., 19). Рассмотрим условие (y < 100). Оно истинно для (y = 0, 1, ..., 99). Остается проверить случай (y \ge 100). Таким образом, нужно, чтобы при (4 \le x \le 19) и (y \ge 100) выполнялось (y \ge 3x + A). Чтобы формула была тождественно истинной, должно выполняться: (\forall x \in [4, 19] \ \forall y \ge 100: y \ge 3x + A) Рассмотрим наихудший случай, когда (y = 100). Тогда: (100 \ge 3x + A) (A \le 100 - 3x) Нам нужно найти такое наибольшее целое A, которое удовлетворяет этому неравенству для всех (x \in [4, 19]). Рассмотрим функцию (f(x) = 100 - 3x). Она убывает с ростом x. Поэтому минимальное значение она принимает при (x = 19): (f(19) = 100 - 3 \cdot 19 = 100 - 57 = 43) Тогда (A \le 43). Наибольшее целое A равно 43. Ответ: 43