14. Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 25: (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5_{25} + 2 \cdot x024_{25} + 1 \cdot 099_{25}) В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 25-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 24. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 24 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: Сначала переведем выражение в десятичную систему счисления: (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5_{25} = 1 \cdot 25^4 + 2 \cdot 25^3 + 3 \cdot 25^2 + 4 \cdot 25^1 + 5 \cdot 25^0 = 1 \cdot 390625 + 2 \cdot 15625 + 3 \cdot 625 + 4 \cdot 25 + 5 \cdot 1 = 390625 + 31250 + 1875 + 100 + 5 = 423855) (2 \cdot x024_{25} = 2 \cdot (x \cdot 25^3 + 0 \cdot 25^2 + 2 \cdot 25^1 + 4 \cdot 25^0) = 2 \cdot (x \cdot 15625 + 0 + 50 + 4) = 31250x + 108) (1 \cdot 099_{25} = 1 \cdot 25^2 + 9 \cdot 25^1 + 9 \cdot 25^0 = 625 + 225 + 9 = 859) Общее выражение в десятичной системе: (423855 + 31250x + 108 + 859 = 424822 + 31250x) Нам нужно найти наибольшее x из алфавита 25-ричной системы (то есть (0 \le x \le 24)), при котором выражение кратно 24. (424822 + 31250x \equiv 0 \pmod{24}) Упростим выражение, вычислив остатки от деления на 24: (424822 \equiv 22 \pmod{24}) (31250 \equiv 2 \pmod{24}) Тогда уравнение принимает вид: (22 + 2x \equiv 0 \pmod{24}) (2x \equiv -22 \pmod{24}) (2x \equiv 2 \pmod{24}) (x \equiv 1 \pmod{12}) Значит, x имеет вид (x = 12k + 1). Поскольку (0 \le x \le 24), возможные значения x: 1, 13. Наибольшее значение x = 13. Теперь вычислим значение выражения при x = 13: (424822 + 31250 \cdot 13 = 424822 + 406250 = 831072) Вычислим частное от деления на 24: ( \frac{831072}{24} = 34628) Ответ: 34628