Для каждого значения а решите уравнение ax² - (2 + a)x + 3 = 0.

Решение:

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно \( x \) при \( a \neq 0 \).

Случай 1: \( a = 0 \)

Если \( a = 0 \), уравнение принимает вид:

\( 0 × x^2 - (2 + 0)x + 3 = 0 \)

\( -2x + 3 = 0 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = \frac{3}{2} \)

Случай 2: \( a \neq 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдём его дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-(2 + a))^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = (2 + a)^2 - 12a \]

\[ D = 4 + 4a + a^2 - 12a = a^2 - 8a + 4 \]

Теперь рассмотрим случаи в зависимости от знака \( D \):

1. Если \( D > 0 \), то есть \( a^2 - 8a + 4 > 0 \). Корни квадратного уравнения \( t^2 - 8t + 4 = 0 \): \( t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \). Таким образом, \( D > 0 \) при \( a \in (-\infty; 4 - 2\sqrt{3}) \cup (4 + 2\sqrt{3}; \infty) \). В этом случае уравнение имеет два различных корня:
• \( x_1 = \frac{2 + a + \sqrt{a^2 - 8a + 4}}{2a} \)
• \( x_2 = \frac{2 + a - \sqrt{a^2 - 8a + 4}}{2a} \)
2. Если \( D = 0 \), то есть \( a = 4 \pm 2\sqrt{3} \). В этом случае уравнение имеет один корень:
• \( x = \frac{2 + a}{2a} \)
3. Если \( D < 0 \), то есть \( a \in (4 - 2\sqrt{3}; 4 + 2\sqrt{3}) \) (и \( a \neq 0 \)), то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

• Если \( a = 0 \), то \( x = \frac{3}{2} \).
• Если \( a \in (-\infty; 4 - 2\sqrt{3}) \cup (4 + 2\sqrt{3}; \infty) \), то \( x_{1,2} = \frac{2 + a \pm \sqrt{a^2 - 8a + 4}}{2a} \).
• Если \( a = 4 \pm 2\sqrt{3} \), то \( x = \frac{2 + a}{2a} \).
• Если \( a \in (4 - 2\sqrt{3}; 4 + 2\sqrt{3}) \) и \( a \neq 0 \), то действительных корней нет.