6. Для получения высшего образования пол..галось изучить семь наук: гра(мм/м)атику риторику филосо..ию арифметику геометрию а также музыку.

Определим орфограмму: Правописание гласных и согласных в корне слова.

В слове "полагалось" пишем букву "а", потому что это слово является формой глагола "полагаться", в котором в корне с чередованием -лаг- // -лож- перед буквой "г" пишется "а".

В слове "грамматику" пишем две буквы "м", потому что это слово является словарным и его написание нужно запомнить.

В слове "философию" пишем букву "и", потому что это слово является словарным и его написание нужно запомнить.

Ответ: Для получения высшего образования полагалось изучить семь наук: грамматику риторику философию арифметику геометрию а также музыку.