679. (Для работы в парах.) Докажите, что значение a) 165 + 164 кратно 17; б) 389 – 388 кратно 37; в) 365 - 69 кратно 30; г) 518 - 258 кратно 120

Давай докажем, что данные выражения кратны указанным числам. Начнем с первого. а) Докажем, что 16⁵ + 16⁴ кратно 17. Вынесем общий множитель за скобки: 16⁵ + 16⁴ = 16⁴(16 + 1) = 16⁴ \cdot 17 Так как один из множителей равен 17, то выражение 16⁴ \cdot 17 кратно 17. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что 38⁹ – 38⁸ кратно 37. Вынесем общий множитель за скобки: 38⁹ – 38⁸ = 38⁸(38 – 1) = 38⁸ \cdot 37 Так как один из множителей равен 37, то выражение 38⁸ \cdot 37 кратно 37. Что и требовалось доказать. в) Докажем, что 36⁵ - 6⁹ кратно 30. Представим 36 как 6²: 36⁵ - 6⁹ = (6²)⁵ - 6⁹ = 6¹⁰ - 6⁹ = 6⁹(6 - 1) = 6⁹ \cdot 5 Теперь представим 6 как 2 \cdot 3: 6⁹ \cdot 5 = (2 \cdot 3)⁹ \cdot 5 = 2⁹ \cdot 3⁹ \cdot 5 = 2⁸ \cdot 3⁹ \cdot (2 \cdot 5) = 2⁸ \cdot 3⁹ \cdot 10 = 2⁸ \cdot 3⁹ \cdot 10 Так как выражение содержит множитель 10, оно кратно 10. Исходное выражение также содержит множитель 5, а 6⁹ содержит множитель 3, значит выражение кратно 2, 3 и 5, следовательно кратно и 30. г) Докажем, что 5¹⁸ - 25⁸ кратно 120. Представим 25 как 5²: 5¹⁸ - 25⁸ = 5¹⁸ - (5²)⁸ = 5¹⁸ - 5¹⁶ = 5¹⁶(5² - 1) = 5¹⁶(25 - 1) = 5¹⁶ \cdot 24 Разложим 24 на множители: 5¹⁶ \cdot 24 = 5¹⁶ \cdot 3 \cdot 8 = 5¹⁶ \cdot 3 \cdot 2³ = 5¹⁵ \cdot (5 \cdot 2³) \cdot 3 = 5¹⁵ \cdot 40 \cdot 3 = 5¹⁵ \cdot 120 Так как выражение содержит множитель 120, то выражение 5¹⁸ - 25⁸ кратно 120. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что выражения кратны указанным числам.

Ты отлично справился с доказательствами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!