681. (Для работы в парах.) Докажите, что: а) 78 - 77 + 76 делится на 43; б) 213 – 210 – 29 делится на 13; в) 274 – 95 + 39 делится на 25; г) 164 – 213 – 45 делится на 110.

Давай докажем, что данные выражения делятся на указанные числа. а) Докажем, что 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ делится на 43. Вынесем общий множитель 7⁶ за скобки: 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ = 7⁶(7² - 7 + 1) = 7⁶(49 - 7 + 1) = 7⁶ \cdot 43 Так как один из множителей равен 43, то выражение 7⁶ \cdot 43 делится на 43. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что 2¹³ – 2¹⁰ – 2⁹ делится на 13. Вынесем общий множитель 2⁹ за скобки: 2¹³ – 2¹⁰ – 2⁹ = 2⁹(2⁴ - 2 - 1) = 2⁹(16 - 2 - 1) = 2⁹ \cdot 13 Так как один из множителей равен 13, то выражение 2⁹ \cdot 13 делится на 13. Что и требовалось доказать. в) Докажем, что 27⁴ – 9⁵ + 3⁹ делится на 25. Представим 27 как 3³ и 9 как 3²: 27⁴ – 9⁵ + 3⁹ = (3³)⁴ – (3²)⁵ + 3⁹ = 3¹² – 3¹⁰ + 3⁹ = 3⁹(3³ - 3 + 1) = 3⁹(27 - 9 + 1) = 3⁹ \cdot 19 Чтобы доказать, что выражение делится на 25, нужно, чтобы либо 3⁹ делилось на 25, либо 19 делилось на 25. Но это не так. Возможна опечатка в условии. г) Докажем, что 16⁴ – 2¹³ – 4⁵ делится на 110. Представим 16 как 2⁴ и 4 как 2²: 16⁴ – 2¹³ – 4⁵ = (2⁴)⁴ – 2¹³ – (2²)⁵ = 2¹⁶ – 2¹³ – 2¹⁰ = 2¹⁰(2⁶ - 2³ - 1) = 2¹⁰(64 - 8 - 1) = 2¹⁰ \cdot 55 Разложим 55 на множители: 2¹⁰ \cdot 55 = 2¹⁰ \cdot 5 \cdot 11 = 2⁹ \cdot (2 \cdot 5) \cdot 11 = 2⁹ \cdot 10 \cdot 11 = 2⁹ \cdot 110 Так как выражение содержит множитель 110, то выражение 16⁴ – 2¹³ – 4⁵ делится на 110. Что и требовалось доказать.

Ответ: a) Доказано, что выражение делится на 43; б) Доказано, что выражение делится на 13; в) В условии опечатка; г) Доказано, что выражение делится на 110.

Ты отлично справился с доказательствами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!