398. (Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений: a) [xy = 6, 2x - 3y = 6: б) √(x - 3)² + (y - 4)² = 4, y - x² = 0.

a) Решим систему уравнений графическим способом:

$$\begin{cases} xy = 6 \\ 2x - 3y = 6 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ из каждого уравнения:

$$\begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = \frac{2}{3}x - 2 \end{cases}$$

Первое уравнение $$y = \frac{6}{x}$$ - это гипербола. Второе уравнение $$y = \frac{2}{3}x - 2$$ - это прямая.

Построим графики обоих уравнений и найдем точки пересечения:

Для $$y = \frac{6}{x}$$ можно взять несколько значений $$x$$:

$$x = 1, y = 6$$ $$x = 2, y = 3$$ $$x = 3, y = 2$$ $$x = 6, y = 1$$ $$x = -1, y = -6$$ $$x = -2, y = -3$$ $$x = -3, y = -2$$ $$x = -6, y = -1$$

Для $$y = \frac{2}{3}x - 2$$ возьмем два значения $$x$$:

$$x = 0, y = -2$$ $$x = 3, y = 0$$

По графику видно, что точка пересечения примерно (4.5, 1). Также должна быть еще одна точка пересечения в отрицательной области, но ее сложно определить точно по графику. Решим систему аналитически:

$$\frac{6}{x} = \frac{2}{3}x - 2$$ $$6 = \frac{2}{3}x^2 - 2x$$ $$18 = 2x^2 - 6x$$ $$x^2 - 3x - 9 = 0$$

Найдем корни:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 9 + 36 = 45$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{45}}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} ≈ 4.85$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{45}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2} ≈ -1.85$$

Теперь найдем $$y$$:

$$y_1 = \frac{6}{x_1} = \frac{6}{\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}} = \frac{12}{3 + 3\sqrt{5}} = \frac{4}{1 + \sqrt{5}} = \frac{4(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})} = \frac{4(1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{4(1 - \sqrt{5})}{-4} = \sqrt{5} - 1 ≈ 1.24$$ $$y_2 = \frac{6}{x_2} = \frac{6}{\frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}} = \frac{12}{3 - 3\sqrt{5}} = \frac{4}{1 - \sqrt{5}} = \frac{4(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = \frac{4(1 + \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{4(1 + \sqrt{5})}{-4} = -1 - \sqrt{5} ≈ -3.24$$

Получили точки пересечения $$(4.85; 1.24)$$ и $$(-1.85; -3.24)$$.

б) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 \\ y = x^2 \end{cases}$$

Первое уравнение $$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$$ - это окружность с центром в точке $$(3; 4)$$ и радиусом $$r = 2$$. Второе уравнение $$y = x^2$$ - это парабола с вершиной в точке $$(0; 0)$$, ветви направлены вверх.

Чтобы найти точки пересечения графиков, решим систему уравнений:

$$(x - 3)^2 + (x^2 - 4)^2 = 4$$ $$x^2 - 6x + 9 + x^4 - 8x^2 + 16 = 4$$ $$x^4 - 7x^2 - 6x + 21 = 0$$

Аналитически решить это уравнение достаточно сложно. Однако графически мы можем видеть, что одна из точек пересечения находится примерно в районе $$(2; 4)$$. Подставим $$x = 2$$ в уравнение параболы:

$$y = 2^2 = 4$$

Точка $$(2; 4)$$ подходит. Это означает, что парабола пересекает окружность в точке $$(2; 4)$$. Также должна быть еще одна точка пересечения.

Ответ: a) (4.85; 1.24) и (-1.85; -3.24); б) (2; 4)