Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 90 °С, Лиза добавила в него порцию холодной воды с температурой 15 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 65 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны c = 4200 Дж/(кг·°С). Потерями теплоты можно пренебречь.

Пояснение к задаче:

Эта задача решается с помощью закона сохранения энергии в форме теплового баланса. Количество теплоты, отданное горячим телом (чаем), равно количеству теплоты, полученному холодным телом (водой), если пренебречь тепловыми потерями.

1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой.

Краткая запись:

• Начальная температура чая (T_ч.нач): 90 °С
• Начальная температура воды (T_в.нач): 15 °С
• Конечная температура (T_кон): 65 °С
• Удельная теплоёмкость (c): 4200 Дж/(кг·°С)
• Найти: Отношение \( Q_{отд.чаєм} / Q_{получ.водой} \) — ?

Решение:

1. Шаг 1: Определяем количество теплоты, отданное чаем. Используем формулу \( Q = m · c · ΔT \).
   \( Q_{отд.чаєм} = m_{ч} · c · (T_{ч.нач} - T_{кон}) \)
   \( Q_{отд.чаєм} = m_{ч} · 4200 · (90 - 65) = m_{ч} · 4200 · 25 \) Дж.
2. Шаг 2: Определяем количество теплоты, полученное водой.
   \( Q_{получ.водой} = m_{в} · c · (T_{кон} - T_{в.нач}) \)
   \( Q_{получ.водой} = m_{в} · 4200 · (65 - 15) = m_{в} · 4200 · 50 \) Дж.
3. Шаг 3: Находим отношение количества теплоты:
   \( Q_{отд.чаєм} / Q_{получ.водой} = \frac{m_{ч} · 4200 · 25}{m_{в} · 4200 · 50} = \frac{m_{ч}}{m_{в}} · \frac{25}{50} = \frac{m_{ч}}{m_{в}} · \frac{1}{2} \).

Ответ: Отношение равно \( \frac{m_{ч}}{m_{в}} \) · \( \frac{1}{2} \)

2) Найдите отношение массы чая к массе долитой воды.

Решение:

1. Шаг 1: Используем закон сохранения энергии: количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученному водой.
   \( Q_{отд.чаєм} = Q_{получ.водой} \)
2. Шаг 2: Подставляем выражения из предыдущего пункта:
   \( m_{ч} · c · (90 - 65) = m_{в} · c · (65 - 15) \)
3. Шаг 3: Сокращаем удельные теплоёмкости \( c \):
   \( m_{ч} · 25 = m_{в} · 50 \)
4. Шаг 4: Находим отношение масс:
   \( \frac{m_{ч}}{m_{в}} = \frac{50}{25} = 2 \).

Ответ: Отношение массы чая к массе долитой воды равно 2.

3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Лиза добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия?

Краткая запись:

• Масса первой порции воды: \( m_в \)
• Масса чая: \( m_ч = 2m_в \)
• Масса второй порции воды: \( m_в \) (такая же, как первая)
• Начальная температура чая: 90 °С
• Начальная температура воды: 15 °С
• Найти: Конечная температура (T_кон.2) — ?

Решение:

1. Шаг 1: Общая масса воды теперь равна \( m_в + m_в = 2m_в \).
2. Шаг 2: Составляем уравнение теплового баланса: Количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученному водой.
   \( Q_{отд.чаєм} = Q_{получ.водой} \)
3. Шаг 3: Подставляем выражения:
   \( m_{ч} · c · (90 - T_{кон.2}) = (m_в + m_в) · c · (T_{кон.2} - 15) \)
4. Шаг 4: Заменяем \( m_{ч} \) на \( 2m_в \) и сокращаем \( c \):
   \( 2m_в · (90 - T_{кон.2}) = 2m_в · (T_{кон.2} - 15) \)
5. Шаг 5: Сокращаем \( 2m_в \) с обеих сторон:
   \( 90 - T_{кон.2} = T_{кон.2} - 15 \)
6. Шаг 6: Решаем уравнение относительно \( T_{кон.2} \):
   \( 90 + 15 = T_{кон.2} + T_{кон.2} \)
   \( 105 = 2 · T_{кон.2} \)
   \( T_{кон.2} = \frac{105}{2} = 52.5 \) °С.

Ответ: 52.5 °С