Доказать: AO = CO. В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD; диагональ AC пересекает MN в точке O.

Проведём через C прямую, параллельную AD, и обозначим её пересечение с MN через P.

Поскольку MN — средняя линия трапеции, MN ∥ AD. Также BC ∥ AD, следовательно, в четырёхугольнике BCNM противоположные стороны попарно параллельны, и BCNM — параллелограмм. Поэтому \(MN=BC\).

Так как M — середина AB, а MP ∥ AC и BP ∥ AC, удобнее применить координатное рассуждение: пусть \(A=(0,0)\), \(B=(u,h)\), \(D=(d,0)\), \(C=(v,h)\). Тогда середины боковых сторон дают \(M=(u/2,h/2)\), \(N=((v+d)/2,h/2)\). Прямая MN имеет высоту \(h/2\), а диагональ AC соединяет точки \((0,0)\) и \((v,h)\), поэтому пересекает эту высоту при параметре \(1/2\). Следовательно, точка O — середина AC.

Значит, \(AO=CO\), что и требовалось доказать.