2. Доказать признак равенства треугольников по трем сторонам.

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть ABC и A₁B₁C₁ — два треугольника, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁.

Докажем, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, а вершины C и C₁ оказались по разные стороны от прямой A₁B₁.

Возможны два случая:

1) Отрезок CC₁ проходит через прямую A₁B₁.

2) Отрезок CC₁ не проходит через прямую A₁B₁.

В первом случае треугольники ACC₁ и BCC₁ являются равнобедренными, так как AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.

Следовательно, ∠ACC₁ = ∠A₁CC₁ и ∠BCC₁ = ∠B₁CC₁.

Поэтому ∠ACB = ∠A₁CB₁.

Во втором случае отрезки A₁B₁ и CC₁ пересекаются в некоторой точке D. Тогда треугольники ACC₁ и BCC₁ являются равнобедренными, так как AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.

Следовательно, ∠ACC₁ = ∠A₁CC₁ и ∠BCC₁ = ∠B₁CC₁.

Поэтому ∠ACB = ∠A₁CB₁.

Таким образом, в обоих случаях ∠ACB = ∠A₁CB₁.

Следовательно, ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: доказано признак равенства треугольников по трем сторонам.