Доказать свойства равнобедренной трапеции. Дано: трапеция ABCD, BC и AD — основания, AB = CD. Доказать: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C. 1) Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. 2) В равнобедренной трапеции диагонали равны.

1. Докажем, что ∠A = ∠D и ∠B = ∠C.

Проведём из B перпендикуляр BO к AD и из C перпендикуляр к AD. Обозначим основание второго перпендикуляра E. Поскольку BC ∥ AD, расстояние между параллельными прямыми одинаково, поэтому BO = CE. Прямоугольные треугольники ABO и DCE имеют равные гипотенузы AB = CD и равные катеты BO = CE, значит, они равны. Следовательно, ∠A = ∠D.

Так как сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°, из ∠A = ∠D следует ∠B = ∠C.

2. Докажем, что диагонали AC и BD равны.

Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них AB = CD по условию, AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠CDA по доказанному свойству. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны BD и AC равны.

Ответ: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C; AC = BD.