2. Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение.

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°:

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°, угол A равен 30°, и катет BC лежит против угла A.

Рассмотрим треугольник ABD, который получается при прикладывании треугольника ABC к катету BC так, что BC является высотой и медианой треугольника ABD.

В треугольнике ABD угол A равен углу D (оба по 30°). Следовательно, угол B равен 180° - 30° - 30° = 120°.

Треугольник ABD равнобедренный, так как углы при основании равны. AB = BD.

Углы ABC и DBC равны (по 60°), так как BC — биссектриса угла ABD. Таким образом, треугольник ABD является равносторонним, и все его стороны равны AB = BD = AD.

Поскольку AD = AB и AC = CD (по построению), а AD = 2 * BC, то AB = 2 * BC.

Отсюда следует, что катет BC равен половине гипотенузы AB.

Обратное утверждение:

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Ответ: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Обратное: Если катет равен половине гипотенузы, то угол против него равен 30°.