Доказать тождество (532-533). 532 1) sin +α π 4 COS π 4 -a=0; 2) cos(-a)-sin(+)=0; 3 α α 3 sin 3 π 2 α tg (π +α) ctg + a 2 tga- 3 π 2 = - sin α.

Решение заданий 532: 1) $$sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 0$$ Разложим синус и косинус суммы и разности: $$sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha) - (cos(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)) = 0$$ Так как $$sin(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, то: $$\frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha) = 0$$ $$0 = 0$$ Тождество доказано. 2) $$cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = 0$$ Разложим косинус разности и синус суммы: $$cos(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{6})sin(\alpha) - (sin(\frac{\pi}{3})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{3})sin(\alpha)) = 0$$ Подставим значения тригонометрических функций: $$\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha) - (\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)) = 0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha) = 0$$ $$0 = 0$$ Тождество доказано. 3) $$\frac{sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{tg(\pi + \alpha)} \cdot \frac{ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = -sin(\alpha)$$ Преобразуем выражение, используя известные тригонометрические свойства: * $$sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$$ * $$tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$$ * $$ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$$ * $$tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -ctg(\alpha)$$ Подставим в исходное выражение: $$\frac{-cos(\alpha)}{tg(\alpha)} \cdot \frac{-tg(\alpha)}{-ctg(\alpha)} = -cos(\alpha) \cdot \frac{1}{ctg(\alpha)} = -cos(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = -sin(\alpha)$$ Тождество доказано. Ответ: Тождества доказаны