Доказать тождество: 1) \(3\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos 2\alpha\); 2) \(\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\).

Используем тождество \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\):

\(3\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=3\cos 2\alpha-(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)=3\cos 2\alpha-\cos 2\alpha=2\cos 2\alpha\).

По формуле разности синусов:

\(\sin 5\alpha-\sin 3\alpha=2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2}=2\cos 4\alpha\sin\alpha\).

Следовательно, при \(\cos 4\alpha\ne0\), \(\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\).