Упростить выражение: 1) $\sin(\alpha-\beta)-\sin(\frac\pi2-\alpha)\cdot\sin(-\beta)$; 2) $\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2(\frac\pi2-\alpha)$; 3) $2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростить выражение: 1) $\sin(\alpha-\beta)-\sin(\frac\pi2-\alpha)\cdot\sin(-\beta)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

$\sin(\frac\pi2-\alpha)=\cos\alpha$, а $\sin(-\beta)=-\sin\beta$. Поэтому
$\sin(\alpha-\beta)-\cos\alpha(-\sin\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta$.
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, $\cos(\frac\pi2-\alpha)=\sin\alpha$. Тогда
$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha$.
Раскроем косинус суммы:
$2\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$.

Ответ: 1) $\sin\alpha\cos\beta$; 2) $\cos 2\alpha$; 3) $\cos(\alpha-\beta)$.

Упростить выражение: 1) \(\sin(\alpha-\beta)-\sin(\frac\pi2-\alpha)\cdot\sin(-\beta)\); 2) \(\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2(\frac\pi2-\alpha)\); 3) \(2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)\).