Докажите: а) Равенство n(n + 1) = 35 419 неверно при любом натуральном n. б) Равенство 2m(m + 1) = 37 582 неверно при любом m ∈ ℕ.

а) При любом натуральном \(n\) числа \(n\) и \(n+1\) — соседние целые числа, одно из которых чётное. Поэтому произведение \(n(n+1)\) чётно. Число 35 419 нечётное, значит, равенство невозможно.

б) Для любого натурального \(m\) выражение \(2m(m+1)\) делится на 4: среди соседних чисел \(m\) и \(m+1\) одно чётное, а выражение содержит ещё множитель 2. Но \(37\,582\) не делится на 4, поскольку его последние две цифры образуют число 82. Следовательно, равенство невозможно.