Докажите, что: 1) $a^3-6a^2+a-6\ge 0$, если $a\ge 6$; 2) $ab+1>a+b$, если $a>1$ и $b>1$; 3) $\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a$, если $a<-6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите, что: 1) $a^3-6a^2+a-6\ge 0$, если $a\ge 6$; 2) $ab+1>a+b$, если $a>1$ и $b>1$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Сгруппируем слагаемые:
$a^3-6a^2+a-6=a^2(a-6)+(a-6)=(a^2+1)(a-6).$
При $a\ge 6$ оба множителя неотрицательны, поэтому $(a^2+1)(a-6)\ge 0$.
Вычтем правую часть из левой:
$ab+1-a-b=(a-1)(b-1).$
Так как $a>1$ и $b>1$, то $(a-1)(b-1)>0$. Следовательно, $ab+1>a+b$.
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}=\frac{4(a+3)+3(3a-2)}{12}=\frac{13a+6}{12}.$
Условие $a<-6$ равносильно $13a+6<12a$, поэтому \(\frac{13a+6}{12}

Докажите, что: 1) \(a^3-6a^2+a-6\ge 0\), если \(a\ge 6\); 2) \(ab+1>a+b\), если \(a>1\) и \(b>1\); 3) \(\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a\), если \(a<-6\).