Докажите, что: 1) $ab(b-a)\le a^3-b^3$, если $a\ge b$; 2) $\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12$, если $a>2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите, что: 1) $ab(b-a)\le a^3-b^3$, если $a\ge b$; 2) $\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12$, если $a>2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим разность правой и левой частей:
$a^3-b^3-ab(b-a)=a^3-b^3+ab(a-b)$
$=(a-b)(a^2+ab+b^2+ab)=(a-b)(a+b)^2.$
При $a\ge b$ имеем $a-b\ge 0$, а $(a+b)^2\ge 0$. Значит, разность неотрицательна, и $ab(b-a)\le a^3-b^3$.
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}=\frac{3(a-1)-2(a-2)}{6}=\frac{a+1}{6}.$
При $a>2$ выполняется $a+1>3$, поэтому $\frac{a+1}{6}>\frac12$.

Докажите, что: 1) \(ab(b-a)\le a^3-b^3\), если \(a\ge b\); 2) \(\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12\), если \(a>2\).