950 Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллело-граммом, и найдите его диагонали, если: a) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4); б) M (-5; 1), N (-4; 4), P(-1; 5), Q (-2; 2).

a) Чтобы доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. Это можно сделать, вычислив длины сторон и проверив равенство угловых коэффициентов (тангенсов углов наклона) противоположных сторон.

Найдем длины сторон:

• MN = $$ \sqrt{(6-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{25} = 5 $$
• NP = $$ \sqrt{(7-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} $$
• PQ = $$ \sqrt{(2-7)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{25} = 5 $$
• QM = $$ \sqrt{(1-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} $$

Так как MN = PQ и NP = QM, противоположные стороны равны.

Найдем угловые коэффициенты сторон:

• MN: $$ \frac{1-1}{6-1} = 0 $$
• NP: $$ \frac{4-1}{7-6} = 3 $$
• PQ: $$ \frac{4-4}{2-7} = 0 $$
• QM: $$ \frac{1-4}{1-2} = 3 $$

Так как угловые коэффициенты противоположных сторон равны, то MN || PQ и NP || QM. Следовательно, MNPQ - параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

• MP = $$ \sqrt{(7-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} $$
• NQ = $$ \sqrt{(2-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 $$

б) Чтобы доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. Это можно сделать, вычислив длины сторон и проверив равенство угловых коэффициентов (тангенсов углов наклона) противоположных сторон.

Найдем длины сторон:

• MN = $$ \sqrt{(-4-(-5))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} $$
• NP = $$ \sqrt{(-1-(-4))^2 + (5-4)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} $$
• PQ = $$ \sqrt{(-2-(-1))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} $$
• QM = $$ \sqrt{(-5-(-2))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} $$

Так как MN = PQ и NP = QM, то MN = NP = PQ = QM, т.е. MNPQ - ромб.

Найдем угловые коэффициенты сторон:

• MN: $$ \frac{4-1}{-4-(-5)} = \frac{3}{1} = 3 $$
• NP: $$ \frac{5-4}{-1-(-4)} = \frac{1}{3} $$
• PQ: $$ \frac{2-5}{-2-(-1)} = \frac{-3}{-1} = 3 $$
• QM: $$ \frac{1-2}{-5-(-2)} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} $$

Так как угловые коэффициенты противоположных сторон равны, то MN || PQ и NP || QM. Следовательно, MNPQ - параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

• MP = $$ \sqrt{(-1-(-5))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$
• NQ = $$ \sqrt{(-2-(-4))^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$

Ответ: а) MNPQ - параллелограмм, MP = $$3\sqrt{5}$$, NQ = 5; б) MNPQ - параллелограмм, MP = $$4\sqrt{2}$$, NQ = $$2\sqrt{2}$$.