949 На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (1; 2) и В (-3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).

a) Пусть точка на оси абсцисс имеет координаты (x; 0). Тогда расстояние от этой точки до точки A (1; 2) должно быть равно расстоянию от этой точки до точки B (-3; 4). Запишем это условие в виде уравнения:

$$\sqrt{(1 - x)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-3 - x)^2 + (4 - 0)^2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(1 - x)^2 + 2^2 = (-3 - x)^2 + 4^2$$ $$1 - 2x + x^2 + 4 = 9 + 6x + x^2 + 16$$ $$x^2 - 2x + 5 = x^2 + 6x + 25$$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$-2x - 6x = 25 - 5$$ $$-8x = 20$$ $$x = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$$

Точка на оси абсцисс, равноудаленная от точек A и B, имеет координаты (-2.5; 0).

б) Пусть точка на оси абсцисс имеет координаты (x; 0). Тогда расстояние от этой точки до точки C (1; 1) должно быть равно расстоянию от этой точки до точки D (3; 5). Запишем это условие в виде уравнения:

$$\sqrt{(1 - x)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(3 - x)^2 + (5 - 0)^2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(1 - x)^2 + 1^2 = (3 - x)^2 + 5^2$$ $$1 - 2x + x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2 + 25$$ $$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 6x + 34$$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$-2x + 6x = 34 - 2$$ $$4x = 32$$ $$x = 8$$

Точка на оси абсцисс, равноудаленная от точек C и D, имеет координаты (8; 0).

Ответ: а) (-2.5; 0); б) (8; 0).