3. Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин P(3; 0), S(-1; 3), Q(-4; −1), T(0; -4 является квадратом, и вычислите его площадь.

3. Докажем, что четырехугольник PSQT является квадратом.

Найдем длины сторон PS, SQ, QT, TP.

$$ |PS| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$.

$$ |SQ| = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$.

$$ |QT| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$.

$$ |TP| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$.

Так как все стороны равны, то PSQT - ромб.

Найдем длины диагоналей: PQ и ST.

$$ |PQ| = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} $$.

$$ |ST| = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} $$.

Так как диагонали ромба равны, то PSQT - квадрат.

Найдем площадь квадрата PSQT.

$$ S_{PSQT} = |PS|^2 = 5^2 = 25 $$.

Ответ: PSQT - квадрат, площадь квадрата PSQT равна 25.